Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов.

29.01.2018

Тема урока: Логарифм числа. Основное логарифмическое

тождество.

                         Свойства логарифмов.

Цели и задачи урока:

•рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;

•дать понятие десятичного и натурального логарифма;

•овладеть  знаниями и умениями

использовать основное      

   логарифмическое тождество , формулы перехода

от одного основания

    к другому в процессе решения упражнений;

•развивать

мышление учащихся при выполнении упражнений;

•

продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно

   запоминать новую информацию;

•

научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;

•

вычислять значения несложных логарифмических выражений.

 

Тип урока: усвоение новых

знаний.

Оборудование: учебники, тетради,

магнитная доска, карточки, изображение «Дерева Достижений», карточки с

заданиями.

Формы  урока: индивидуальная, парная, групповая,

коллективная.

 

Ход урока:

1.    

Организационный

момент.

2.    

Создание

атмосферы сотрудничества.

3.    

Актуализация

знаний.

4.    

Изучение

нового материала.

5.    

Закрепление

изученного материала.

6.    

Домашнее

задание.

7.    

Подведение

итогов.   Рефлексия.

 

1.   Организационный момент.

На

уроке наши глаза внимательно смотрят и все …(видят).

Уши

внимательно слушают и все…(слышат).

Голова

хорошо …(думает).

На

доске изображено «Дерево Достижений».

-Обратите

внимание на наше одинокое дерево. У каждого из вас есть листочки разного цвета.

Я попрошу вас взять один из них, любого цвета и помочь нашему дереву покрыться

разноцветной листвой.

Тех,

кто выбрал зеленый лист, ожидает успех на сегодняшнем уроке.

Те,

кто выбрал розовый - желают общаться.

Желтый

– проявят активность.

Оранжевый

– будут настойчивы.

Помните,

что красота дерева зависит от вас, ваших стремлений и ожиданий, вашей работы на

уроке.

2.   Формирование групп.

Я

даю вам фигуры, вы должны найти себе подобных. Садятся за свой стол.  Дается тема урока. Создается проблемная

ситуация: познакомиться с логарифмом числа, его свойствами, основным

логарифмическим тождеством , видами логарифмов.

1

группа – треугольник. Понятие логарифма.

 

 

2

группа  - квадрат. Свойства логарифмов.

 

 

3

группа- трапеция. Виды логарифмов. Формулы перехода от одного основания к

другому.

 

3.   Актуализация знаний. Повторение изученного материала.

                                              

Фронтальный опрос.

1.    

Дайте

определение показательного уравнения.

(уравнения, содержащие переменную в

показателе степени называются показательными).

2.    

Какими

способами решаются показательные уравнения?

(способ приведения к общему основанию;  способ введения новой переменной; графический

способ; метод вынесения общего множителя за скобки).

3.    

Алгоритм

решения уравнений каждого из способов:

А) обе части приводим к одинаковому

основанию; приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения,

получаем равносильное уравнение; решаем полученное уравнение; с помощью

проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями

данного уравнения; записываем решение исходного уравнения.

В) делаем замену переменной, приводящую к

алгебраическому уравнению; решаем его; найденные значения подставим в

равенство, определяющее замену; найдем корни уравнения; делаем проверку, какие

из корней являются корнями данного уравнения; записываем ответ.

С) данный способ используется в тех

случаях, когда в показательном уравнении а ͯ = в число в нельзя представить в

виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости

строят графики функций у = а ͯ и у в . Абсциссы точек пересечения графиков

указанных функций будут решениями показательного уравнения.

     4.   

для каждого из уравнений определите метод решения:

        1) 22х – 4 = 4 – метод

уравнивания оснований.

        2) 2х-1  + 2х+1 = 5 – метод вынесения

общего множителя за скобки.

        3) 9х+ 3х+1- 18 =

0 – метод введения новой переменной.

    4) 2х = 6 – х- графический

способ.

Через

какую точку проходят графики показательных функций? (0,1)

При

а > 1 – показательная функция возрастает, 0< а<1 убывает.

Решить уравнения:

5х

= 625               2х-1 +2х

= 6                   9х+ 3х+1

– 18= 0    3х = а

5х

= 54                           

2х-1(1 + 2) = 6               а2 +3а – 18 = 0

Х

= 4                     2х-1·

3 = 6                       Д = 81   √81 = 9

                                 2х-1 = 2                              х1 =

-6, х2 = 3

                                Х – 1 = 1                           3х =-6 –

нет корней   3х = 3  х = 1

                                 Х = 2                             Ответ: 1

4.    

Изучение нового материала.

1

группа познакомит нас  с понятием

логарифма числа. Сообщение.

Стр.

111

В

тетради  записывают уравнение ах

= в, изображают график рис. 51

Определение:

логарифмом положительного числа  в по

основанию а называется показатель степени х, в которую надо возвести данное

основание а, чтобы получить число в.

            Lоgа в = х – Логарифм числа в по основанию а

равен х.

Показать

на примерах

Найдем

логарифмы чисел 25, 625, 1/125 по основанию 5.

Lоg 5 25 = 2 ,

т.к. 52 = 25

Lоg 5 = 625 = 4,

т.к. 54 = 625

Lоg 5 1/125 =

- 3, т. к. 5-3 = 1/125

Из

определения логарифма следует, что аlоg  в

= в- основное логарифмическое тождество.

Пример:      3lоg  27=

27;             5lоg  125 =  125;          

10lоg  

1\100 = 1\100

Решение

примеров вида ах  =в и    ха = в

 

Найдем

логарифм числа 27 по основанию 9.

Решение:  lоg 9 27 = х, тогда 9х = 27,  32х  = 33, 2х = 3; х = 3\2

                                      

Ответ:  3\2

Определим,

при каком основании логарифм числа 16 равен 4.

Решение:  lоgх 16  = 4. По определению логарифма имеем: 16

=  х4, или 24 =х4

откуда: х = 2.

 

Найдем

число, логарифм которого при основании  

81 равен -3\4.

Решение:

Обозначим искомое число через х, тогда lоg81 х = - 3\4. По определению логарифма числа можно

записать: х = 81-3\4  или  х = 1

\∜813 = 1\∜8112

= 1\33 =1\ 27, т.е. х   = 1\27

 

Пример:

Найдем логарифмы следующих чисел:

1)   

0,125 – по основанию2,

2)  √2

–по основанию 1\2;  3) √3 – по основанию 3.

Решение: lоg 2 0,125 = -3, т.к. 0, 125 = 125\1000 = 1\8 = 2-3.

                   Lоg 1\2√2 = -1\2, т.к. √2 = (1\2)-1\2

                   Lоg 3

√3 = 1\2 , т.к. √3 = 31\2

Перейдем к рассмотрению свойств логарифма.

1.    

Логарифм числа а по

основанию а(а – любое положительное число) равен 1:  Lоg а а = 1.

2.    

Логарифм числа 1 по

основанию а равен 0:

                 Lоg

а 1 = 0.

3.    

Логарифм произведения двух

или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:

                Lоg

а (вс) = lоg

а в + lоg

а с.

4.    

Логарифм частного или

дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

                Lоg

а (в\с) = lоg

а

в

– lоg а с , в и с –положительные числа.

5.  

Логарифм степени равен

показателю степени, умноженному на логарифм основания степени:

               Lоg

а вn = n lоg

а в.

6.  

Формула перехода к

новому основанию:

              Lоg

а х =

.

Примеры:

Найдем: log3

(243 · 729) =log3 243 +log3 729 = 5 + 6 =11;

                                       Log5

 = log5

0,008 – log5125 = -3 – 3 =-6;

                                       Log3

log4

41\9

= log 3 (

 log 4 4)

= log3 (

 · 1) = log3 3-2 = -2.

Нахождение

логарифма – это логарифмирование любого алгебраического выражения, позволяют

осуществить все перечисленные свойства. 

Операция обратная логарифмированию называется потенцированием.

 

Для

удобства в практике часто используются отдельные виды логарифмов.

Логарифм числа по основанию 10 называется

десятичным логарифмом.

Например, log 10 217

= lg 217; 

log 10 9 = lg 9.

Десятичные

логарифмы обладают 3  свойствами:

1.    

Десятичный логарифм

целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть

целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа, т.е.

если а = 10п, ,то

Lgа = lg 10п =n.

2.    

Десятичный

логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с

предшествующими нулями, равен n, где n- число нулей в записи этого числа,

считая и нуль целых, т.е. при а = 10-п 

 lg а = lg 10-п   = - n.

3.    

Десятичный

логарифм рационального числа, не равного целой или нулевой степени числа 10,

есть число иррациональное.

 

Определение. Логарифм по основанию числа е называется натуральным

логарифмом.

                        

Log е 13 = ln 13.

5  Закрепление.  № 228 

( № 197     )

 

Log31

= 0, т.к. 

30  = 1;            log 3 9 = 2;        log 3 81 = 4;     log 3 243 = 5;

Log

3

  = -1;   log 3

 =-3.

 

№

233 ( 202    ) устно1) 2; 2) -3; 3) n; 4)

1\2 ; 5) 2\3;  6) 10-1· 10-1\2

= 10-3\2

= -3\2

 № 234 ( 

203    )устно

 

1)   4;      2) -1;        3) -4;        4) 1\2.

 

6.Домашнее

задание.  №229(    198    

);   № 230 (  199   )

 

7.    

Подведение итогов.  Рефлексия.

Какая тема была изучена на уроке?

Что такое логарифм числа?

Какие бывают  виды логарифмов?

Какими свойствами обладают логарифмы?

Достигнута ли цель урока?

Что вам запомнилось на уроке больше

всего, что понравилось?